Las prácticas de enseñanza constituyen un entramado de saberes de distinto orden. La identificación y el análisis de los mismos forman parte de la formación profesional, ya que permiten la producción de conocimiento didáctico y el enriquecimiento de la tarea de enseñar.

Es necesaria la distinción entre los contenidos que se quieren enseñar y las actividades del aula que son el medio para acceder a ellos, «aunque en el aula actividades y contenidos se entrecrucen» (Lacasa, 1994). Si bien son las actividades las que guardan mayor conexión con los componentes ideológicos, profesionales y éticos del docente, con las características del contexto sociocultural en que se inserta la institución educativa, con las particulares condiciones de un grupo de alumnos, las actividades no pueden analizarse independientemente de los contenidos. Esto nos lleva a considerar que los contenidos de enseñanza y las formas que adopta esa enseñanza son inseparables. «...forma pedagógica de la tarea y contenido de la misma son aspectos indisociables, son dos dimensiones de una misma realidad que se implican una en otra.» (Gimeno Sacristán, 1989)

Existe una adecuación entre tarea y contenido, que explica que algunas tareas tengan sentido solamente en el marco de ciertas disciplinas o de ciertas áreas del conocimiento. No pueden describirse tipos de tarea con valor universal para cualquier contenido. Las áreas o disciplinas no son diferentes solamente porque tratan objetos distintos, sino que cada una maneja procesos de pensamiento diferenciados. Cada objeto de conocimiento presenta un modo científico de producción, ciertos enfoques actuales del campo disciplinar al que pertenece y una significatividad social. Las representaciones que el docente se hace de todos esos elementos modifican el sentido de las prácticas de enseñanza.

El docente posee, de manera consciente o inconsciente, una diversidad de saberes que aparecen mezclados en una compleja trama. Gérard Malglaive (apud Beillerot, 1996) los categoriza en teóricos, de procedimiento, prácticos y de “saber hacer”.

Las relaciones de los tres últimos con el saber teórico son diferentes: los saberes de procedimiento implican saber cómo se hace y los saberes prácticos ponen en acción los saberes de procedimiento. Los de “saber hacer” emanan, en cambio, de la práctica y no del saber de procedimiento; son los más relacionados con los modelos vividos en la propia experiencia del docente. Poner en práctica los saberes teóricos y de procedimiento implica, para los docentes, poder analizar su “saber hacer” que es vivencial e implícito, contrastarlo con los saberes teóricos y de procedimiento que aporta la formación y llegar a traducir esos aportes a las situaciones de aula, o sea, a saberes prácticos. Es una tarea compleja y entraña múltiples obstáculos.

Por otra parte, las creencias del docente pertenecen básicamente a la subjetividad, pero están relacionadas también con conocimientos internalizados. Se manifiestan en las decisiones y en las actuaciones de los maestros. Al igual que las teorías implícitas y las rutinas, reducen la necesidad de detenerse frente a una exigencia de actuación y proveen de la posibilidad de una respuesta inmediata. Los docentes están obligados por la dinámica de su trabajo a tomar decisiones y a actuar rápidamente, lo que no podrían hacer si no dispusieran de un repertorio de actuaciones (rutinas y “saber hacer”) y elementos organizados para una rápida toma de decisiones (teorías implícitas y creencias).

A pesar de este carácter impredecible de su tarea, hay conductas muy estables en los docentes.

Estas conductas están generadas por esquemas que les permiten una economía de acciones en situaciones corrientes, lo que les posibilita dirigir su atención a aspectos menos predecibles o regulares. Según Feldman (1999), la acción del docente no se explica solo con esos esquemas, sino que existe además un componente teórico, un conjunto de principios de forma proposicional que, a pesar de que no se estructura como teoría formalizada, funciona como tal, articulada mediante ciertos significados organizadores.

Son teorías personales aunque no individuales, dado que se encuadran dentro de opciones limitadas provistas por tradiciones escolares o procesos de innovación. Las teorías expresadas verbalmente no siempre coinciden con el saber de la acción. Esta es la distinción que hace Donald Schön (apud Feldman, 1999) entre teorías expuestas y teorías en uso.

El conocimiento declarado no es necesariamente el conocimiento operante en las acciones del sujeto. De ahí que la llamada incoherencia o falta de correspondencia entre teoría y práctica no sea tal, si se considera la existencia de una doble racionalidad: la de la teoría expuesta y la de la teoría en uso. Esta concepción de doble racionalidad no puede generalizarse, sino que corresponde tomarla como una de las dimensiones del conocimiento práctico.

El análisis y el estudio de prácticas nos han permitido identificar una serie de cuestiones instaladas en los colectivos institucionales y constatar que algunas de ellas adquieren el carácter de mitos.

Mito 1: “Resolviendo problemas se aprende Matemática”

Primeramente corresponde preguntarnos:

► ¿Todos los problemas que se proponen son problemas?

► ¿Qué tiene que tener un problema para ser considerado como tal?

► ¿Alcanza con proponer problemas? Según Douady (1984), los problemas deben cumplir con ciertas condiciones:

► La consigna debe de tener sentido para el alumno, ya que esto le permite pensar en una posible solución al problema.

► El alumno debe poder ingresar al problema a partir de un procedimiento de resolución.

► Es necesario considerar que la respuesta no puede ser evidente. «Esto quiere decir que no puede suministrar una respuesta completa sin desarrollar una argumentación que lo conduzca a preguntas que no sabe responder inmediatamente.» (idem, p. 8)

► El problema debe ser abierto «por la diversidad de preguntas que el alumno puede plantear o por la variedad de estrategias que puede poner en marcha y por la incertidumbre que se desprende con respecto al alumno» (ibid.).

► Debe poder expresarse en dos marcos, lo que implica el involucramiento de distintos registros de representación.

Asimismo, la autora plantea que: «El conocimiento buscado por el aprendizaje es el medio científico de responder eficazmente al problema. Es un instrumento adaptado.» (ibid.)

Por otra parte, el aprendizaje matemático supone más que resolver problemas... reflexionar en torno a algo, instalar discusiones (consigo mismo o con otro), establecer conjeturas, probar caminos y tener argumentos para “defender” una solución propia.

Exige también revisitar problemas ya resueltos por los propios alumnos con un nuevo bagaje de conocimientos, revisar problemas resueltos por otros alumnos, realizar síntesis de varios problemas identificando características que los hacen semejantes más allá del contexto que representan.

Mito 2: “Es necesario el trabajo con contextos cotidianos

Es necesario analizar las marcadas diferencias existentes entre los problemas del contexto cotidiano y los del contexto escolar. Sobre la base de aportes de Gómez-Granell (1997) elaboramos la siguiente distinción:

Mito 3: “El contexto cotidiano genera aprendizaje y motiva 

El contexto externo a la Matemática generalmente es tomado como “excusa”, ya que se abandona totalmente en el proceso de resolución.

Por otra parte, el alumno generalmente no establece ninguna vinculación entre la solución a la que arriba y el contexto en que el problema se presenta. Al decir de Sadovsky (2005), el contexto externo:

► oculta cuestiones que el alumno debe aprender;

► no se puede homologar al contexto matemático;

► abre preguntas que deben tratarse en el interior de la Matemática;

► aporta aquello que todavía la Matemática no puede aportar.

En definitiva se podría afirmar que el contexto externo actúa como agente de retroacción que permite evidenciar contradicciones.

Mito 4: “Promover la utilización de diferentes procedimientos de resolución de problemas favorece el aprendizaje”

La simple realización de varios procedimientos de resolución por parte del alumno puede llegar a responder solamente a una “moda” instaurada en el aula. Muchas veces, los alumnos integran esto como parte de un contrato escolar establecido con el maestro que, a su vez, valora ese hecho y lo califica.

¿Qué significado tiene para el alumno resolver un problema de diferentes formas?

¿Los procedimientos que el alumno realiza suponen conocimientos diferentes?

La riqueza de un despliegue de procedimientos radica en:

► entender los procedimientos de otro;

► establecer relaciones entre los distintos procedimientos;

► generar debate en torno a ellos;

► reflexionar sobre los mismos;

► avanzar a partir de cada uno de ellos.

Mito 5: “Hay que trabajar con material concreto, los niños deben manipular

Si bien es real que en determinados momentos el alumno puede necesitar de algún material concreto para resolver una situación, esto no se puede generalizar. Las situaciones de conteo en los primeros años escolares demandan de estos materiales.

Sin embargo, muchas veces los alumnos no necesitan recurrir a materiales, pero el contrato escolar los obliga a ello.

Por otra parte, la introducción de ciertos materiales en las actividades matemáticas en forma acrítica puede obstaculizar la construcción de un concepto por parte del alumno. Un claro ejemplo de ello es la introducción del ábaco, de ataditos y collares para la enseñanza del sistema de numeración decimal. Estos recursos en realidad distorsionan el objeto de enseñanza, aportándole características que no le son propias.

La tarea de enseñar Matemática está íntimamente vinculada a una concepción de Matemática, y a concepciones de enseñanza y de aprendizaje de la misma.

Entendemos la Matemática como un bien cultural y social en tanto que «...sus producciones están permeadas en cada momento por las concepciones de la sociedad en la que emergen, y condicionan aquello que la comunidad de matemáticos concibe en cada momento como posible y como relevante» (Sadovsky, 2005:22).

Pero también es un bien social:

«...porque es resultado de la interacción entre personas que se reconocen como pertenecientes a una misma comunidad. Las respuestas que plantean unos, dan lugar a nuevos problemas que visualizan otros, las demostraciones que se producen se validan según las reglas que se aceptan en cierto momento en la comunidad matemática.» (ibid.)

Esta concepción de matemática, como construcción cultural y social, implica determinada concepción de “enseñanza de la Matemática”.

Guy Brousseau define la enseñanza de la Matemática como un proceso centrado en la producción de conocimiento matemático en el espacio escolar.

En cuanto espacio de producción centra la acción en la modificación y reorganización de relaciones entre conocimientos, en el establecimiento de nuevas relaciones y en la permanente validación de los mismos.

«Concebir la clase como un ámbito de producción supone ya una toma de posición: respecto del aprendizaje, de la enseñanza, del conocimiento matemático, de la relación entre el conocimiento matemático que habita en la escuela y el que se produce fuera de ella.» (Sadovsky, 2005:18) Enseñar Matemática es generar espacios que habiliten a los alumnos a «hacer matemáticas [...] en el sentido propio del término, construirlas, fabricarlas, producirlas» (Charlot, 1986:1).

Desde esta perspectiva sostenemos que se enseña Matemática no por lo que el docente “da”, sino por lo que habilita, por lo que promueve, lo que confronta, lo que rescata.

«...el alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje.» (Brousseau, 1986:11)

Desde este punto de vista podemos afirmar que aprender Matemática implica ese “hacer” Matemática, contraponiéndolo a la idea de descubrir el conocimiento matemático.

Esta última es la noción más instaurada en el espacio escolar y se basa en una epistemología platónica que sostiene que las ideas matemáticas tienen una existencia propia, y es función del docente develarlas.

Desde esta postura, «...la verdad matemática le es dada a aquel que sabe ver, a aquel que tiene suficiente poder de abstracción» (Charlot, 1986:1). A esto se opone la idea de hacer Matemática, de producir conocimiento matemático. Esto exige un tipo de interacción diferente entre el sujeto que aprende (estudiante) y el objeto matemático.

Una interacción basada en el establecimiento de conjeturas, de pruebas, de nuevas relaciones; la realización de rectificaciones y confrontaciones; el surgimiento de nuevas preguntas; la producción de generalizaciones...

Supone, al decir de Charlot (1986), un trabajo del pensamiento que:

► construye los conceptos para resolver problemas,

► plantea nuevas preguntas y problemas a partir de conceptos así construidos,

► generaliza y relaciona conceptos. Los alumnos aprenden Matemática cuando tienen la oportunidad de involucrarse intelectualmente con la actividad que un problema les propone.

Este involucramiento exige que, al igual que lo hace el matemático creador, el alumno plantee hipótesis, conjeture, rectifique procedimientos, generalice, etc., y de esta manera construya conocimientos matemáticos.

Además es necesario tener en cuenta que la construcción del sentido de un concepto matemático está determinada por el conjunto de prácticas que despliega el alumno. Aprender Matemática es construir el sentido de los conceptos; y para ello, la resolución de problemas y la reflexión en torno a los mismos se constituyen en la actividad matemática por excelencia.

«Saber matemática reviste un doble aspecto: Por una parte, es disponer de ciertas nociones, conocimientos, teoremas matemáticos para resolver problemas, interpretar situaciones nuevas. En tal funcionamiento las nociones y los teoremas matemáticos tienen status de herramienta, de recurso. Los problemas para los cuales un conocimiento es útil dan sentido a ese conocimiento. Saber matemática es también identificar las nociones y los teoremas como elementos de un corpus científica y socialmente reconocido. Es también formular definiciones, enunciar teoremas y demostrarlos. En este caso, las nociones, teoremas tienen status de objeto.» (Parra, Broitman e Itzcovich, 1995:8-9)

En este sentido, la enseñanza de la Matemática requiere de situaciones didácticas que problematicen la relación entre el sujeto y el medio, «...un medio sin intenciones didácticas es incapaz de inducir en el alumno todos los conocimientos culturales que se desea que él adquiera» (Brousseau, 1986:12).