El análisis de variados ejemplos de este tipo de tareas asociadas a diferentes destrezas matemáticas y dirigidas a distintas edades del alumnado nos ayudará a profundizar en sus características y su potencial.

a) Las tablas de multiplicar

El conocimiento de las tablas de multiplicación es una destreza que, sin duda, el alumnado debe practicar. No hablamos aquí de la importancia de diseñar un buen itinerario de enseñanza para que  el alumnado les dé sentido a las listas de resultados de multiplicaciones entre números de una cifra, a las que comúnmente llamamos tablas de multiplicar (Barba y Calvo, 2016), sino al trabajo posterior a esta construcción. Un trabajo que requiere dedicación durante más de un año después de su construcción, y que no puede limitarse a la repetición una y otra vez de resultados memorizados en un determinado orden. 

Un ejemplo de práctica podría ser este en el  que se pide completar con un dígito cada celda que aparece en la Imagen 1, de manera que cuanto más grande sea la celda, más grande deberá ser el dígito que contenga.

La demanda requiere que el alumnado sea exhaustivo repasando una a una las tablas que cono- ce para no olvidar ninguna solución y aunque solamente hay diez igualdades posibles, en la tarea  se proponen doce esquemas para completar con la intención de que sea el alumnado quien decida  si hay más soluciones o no. Las decisiones que ha de tomar el alumno, más allá de dar los resultados de cada multiplicación, son las que hacen que esta tarea sea un verdadero problema de Matemáticas, ha de decidir cómo recorrerá los ochenta y un resultados de multiplicaciones de números de una cifra (desde 1x1 a 9x9), ha de comprobar que todas las igualdades que plantea cumplen la restricción del tamaño y ha de decidir cuándo su búsqueda está terminada.

A los alumnos y alumnas que necesitan más acompañamiento por parte del adulto se les puede sugerir que escriban todos los  resultados de una tabla concreta en un papel auxiliar y que vayan tachando todas las opciones en las que los cuatro dígitos involucrados no aparecen escritos de mayor a menor. A medida que vayan haciendo este rastreo tabla a tabla, los invitaremos a ir omitiendo la escritura de igualdades que mentalmente ya pueden descartar. Por otro lado, a las alumnas y los alumnos a quienes su dominio de la destreza que pretendemos practicar les permita cumplir la demanda de la tarea y que comunican con fluidez el proceso que han seguido para encontrar todas las posibilidades, les podemos plantear otro reto asociado a este: ¿qué soluciones habría si el esquema a rellenar fuera el que aparece en la Imagen 2?, ¿y si fuera el que aparece en la Imagen 3?

En el caso del reto vinculado con el esquema  de la Imagen 2, además de detectar que tiene muy pocas soluciones (12 = 3 x 4 y 56 = 7 x 8) y sorprenderse de que en los dos casos las soluciones están formadas por cuatro dígitos consecutivos (cosa que no había pasado en ninguna de las diez soluciones del reto inicial), la tarea tiene un objetivo secundario que vale la pena destacar: el alumnado se ve obligado a interpretar el signo de igual de una manera algo diferente a como lo hace habitualmente. El símbolo “=” debería significar simplemente que lo que hay a la derecha es lo mismo que lo que hay a la izquierda, pero gran parte del alumnado interpreta ese símbolo no como una indicación de equivalencia, sino como una orden de que se ha de calcular lo que aparece a la derecha. Esta interpretación, ligada en gran parte a que en las experiencias previas del alumno el contexto en que ha encontrado ese símbolo siempre tenía una operación a la izquierda y un número resultante a la derecha, provoca conflictos en los futuros aprendizajes algebraicos.

En el caso del reto vinculado con el esquema de la Imagen 3 se encontrará que no tiene solución y, por tanto, surge la necesidad de argumentar este hecho diferenciado claramente de que no es lo mismo no haber encontrado ninguna solución,
que saber y argumentar que la demanda no tiene ninguna solución que encontrar. En este caso, el argumento de peso pasa porque los resultados de dos cifras de ninguna tabla tienen en la cifra de las decenas un dígito mayor al número del que estamos haciendo la tabla.

b) Algoritmos de multiplicación

Con relación a las operaciones multiplicativas entre números naturales, no son las tablas la única destreza a practicar. También se debe dedicar tiempo a la práctica de multiplicaciones entre números mayores que 10, luego de haber implementado algoritmos para sistematizar las estrategias de descomposición que se utilizan habitualmente para conseguir los resultados de estas multiplicaciones. Hablamos de algoritmos en plural en el entendido de que el algoritmo tradicional no es el único que está presente en la actualidad en las aulas, atendiendo a la mirada crítica con la que los maestros de todo el mundo estamos reconsiderando la enseñanza de la aritmética escolar (Barba y Calvo, 2011). Pero sean cuales sean los procedimientos que institucionalizamos en nuestra aula como estrategia para conseguir el resultado de multiplicaciones cuando no usamos la calculadora, estos procedimientos requieren ser automatizados por los alumnos para que, en el caso de necesitar un resultado en el contexto de un problema, la obtención de ese resultado no sea eterna- mente un problema en sí mismo.

Un ejemplo de tarea que podría sustituir la propuesta de una página llena de multiplicaciones para practicar sería pedirle al alumnado que complete el esquema que aparece en la Imagen 4 de todas las maneras posibles usando un 2, un 4, un 5 y un 9, y que realice las multiplicaciones indicadas.

Solo con esta formulación ya le estamos pidiendo al alumnado que calcule veinticuatro multiplicaciones además de planificar una estrategia para no perder ninguna de las maneras posibles de completar el esquema. Pero el valor de este tipo de tareas radica en la flexibilidad de demandas que podemos incorporar durante la gestión al sumarles nuevos re- tos a los alumnos que consiguen el primero, mientras dan tiempo a sus compañeros que lo necesitan. Uno de estos retos podría ser que identifiquen todos los resultados impares que obtuvieron (3825, 2205, 2145 y 1245) y que observen que no solo tienen en común la cifra de las unidades, sino que todos tienen otra regularidad al buscar el resultado de dividirlos entre 3 (¡en los cuatro casos el resto de la división es 0!). Otra extensión del reto inicial podría ser que completaran el esquema que aparece en la Imagen 5, pero ahora no se trataría de plantear y calcular  las doce multiplicaciones posibles (observar que en este caso, al ser los dos factores de dos cifras, la mitad de posibilidades las podemos descartar por la propiedad conmutativa, por ejemplo, 25 x 49 = 49    x 25), sino únicamente la que tiene mayor y menor resultado posible.

Lo que puede sorprender es que para conseguir las respuestas a este reto (54 x 92 = 4968 y 25 x 49= 1225) no es necesario hacer las doce multiplicaciones pero tampoco alcanza con hacer solo dos, porque aunque para obtener la multiplicación de resultado mínimo los alumnos razonen que deben buscar opciones en que el 2 esté en la cifra de las decenas y el 9 en la de las unidades de alguno de los dos factores, deberán comparar las diferentes opciones en las que esto sucede como son 25 x 49 = 1225 < 29 x 45 = 1305 < 24 x 59 = 1416.

Otra tarea de práctica productiva que es interesante plantear para practicar los algoritmos de multiplicación entre dos números de dos cifras es una de carácter algo diferente a la anterior, ya que invita al trabajo colaborativo entre todo el grupo de alumnos. El enunciado del reto es sencillo, sabemos que al multiplicar dos números de dos cifras los resultados varían entre 10 x 10 = 100 y 99 x 99 = 9801 pero ¿qué es más probable para todos los otros resultados, tener tres o cuatro cifras?

Aplicando razonamientos de este tipo aún queda una buena cantidad de multiplicaciones por calcular, pero una cantidad que repartida entre los más de veinte alumnos de una clase se puede asumir sin mayores problemas. Es posible proponer esta tarea planteando una tabla de doble entrada como la que aparece en la Imagen 6 (sobre un papel de embalar en el que dibujamos la cuadrícula o enganchando diversas hojas de papel cuadriculado) –cada fila corresponde a un factor entre 99 y 10, cada columna  a un factor entre 10 y 99– y pidiéndole al alumnado que pinte las celdas que corresponden a un resultado de tres cifras.

En esta Imagen 6 se ve la distribución de las únicas mil cuatrocientas noventa celdas que deberíamos pintar y que permiten visualizar, por un lado, una curva geométrica conocida como hipérbola y, por otro lado, que la probabilidad de que el resultado sea menor que 1000 es inferior al 20%.

c) Estrategias aditivas en el rango 1-200

Aún antes de las tablas y las multiplicaciones entre números de más de una cifra, el alumnado debe practicar otras destrezas básicas, entre ellas  el cálculo de sumas y restas entre números menores que 100. Esta práctica también puede hacerse de manera productiva, sin importar qué tipo de estrategias aditivas queremos que se practiquen: usan- do los algoritmos tradicionales, usando algoritmos basados en números o usando saltos sobre la línea numérica (Barba y Calvo, 2011).

Un ejemplo de tareas con esta finalidad puede ser pedirles a los alumnos que elijan diferentes números formados por dos cifras diferentes; para cada número elegido, les plantearemos que:
► consideren su reverso (el número que se obtiene de intercambiar las cifras de decenas y unidades);
► sumen esos dos números y pinten de naranja la celda que contiene el resultado en una tabla numérica como la que aparece en la Imagen 7;
► resten esos mismos dos números y pinten de celeste la celda de la tabla que contiene el resultado.

Por ejemplo, si como número de partida eligen el 47, considerando que 74 es su reverso deberían pintar de naranja la celda que contiene el 121 (47+74) y de celeste la que contiene el 27 (74-47). O si eligen el 60 como número de partida, considerando que 6 es su reverso (06) deberían pintar de naranja la celda que contiene el 66 y de celeste la que contiene el 54. En la Imagen 7 se ve como quedaría pintada la tabla después de una cantidad suficiente de elecciones entre los números de partida.

Cuando llevamos esta actividad al aula suele su- ceder que después de las primeras cuatro o cinco sumas y restas, el alumnado intuya el patrón visual que determinan los resultados sobre la tabla. La tarea para esos alumnos se redirige a buscar los números de partida que hacen que todos los múltiplos de 9 hasta el 81 queden pintados de celeste (aunque ellos desconozcan el concepto de múltiplo) y que to- dos los múltiplos de 11 hasta el 187 queden pintados de naranja. Podemos preguntarles por qué creen que no puede pintarse el número 198, buscando dar sentido a la restricción de que los números de par- tida no fueran capicúas, una restricción que podría levantarse si se presentara una tabla que contuviera los números del 0 al 199 en lugar de haber optado por una que contiene los números entre 1 y 200.

Cuando se les propone esta actividad a alumnos de final de Primaria es interesante que ellos mismos se pregunten por qué pasa esto y que nosotros tengamos a mano propuestas sencillas que los guíen a la respuesta que buscan. Por ejemplo, en la Imagen 8 se muestra cómo tiene sentido que las sumas de un número y su reverso sean múltiplos de 11, y en la Imagen 9 se hace lo propio para dar sentido a la afirmación de que las restas de un número y su reverso son múltiplos de 9.

Antes de seguir, vale la pena hacer dos comentarios con relación a la pretensión de justificación de estas dos imágenes. Claramente no se trata de demostraciones tal como las entiende la comunidad matemática; pero ellas, a pesar de estar vinculadas a un caso particular de suma y de resta (el mismo con el que hemos ilustrado el enunciado de la tarea, que no tiene ninguna característica que lo diferencie de otros casos particulares de números de dos cifras que no sean capicúas), tienen el poder de evocar argumentos que serían generalizables al resto de casos.

► En el caso de la Imagen 8, hemos elegido mostrar la suma como la cantidad resultante de unir dos colecciones y el resultado de esa unión cuando sumamos dos números en los que la cantidad de decenas de uno coincide con la cifra de las unidades del otro, dejando en evidencia que siempre es una cantidad que se puede agrupar de 11 en 11.

► En el caso de la Imagen 9, hemos elegido mostrar la resta como la cantidad resultante de eliminar algunos elementos, tantos como indica el substraendo, de una colección que tiene tantos elementos como indica el minuendo. Representamos el minuendo con tantas barras de diez cuadrados como indica su cifra de decenas, y tantos cuadrados sueltos como indica su cifra de unidades. Al eliminar de esta representación tantos elementos como indica el minuendo se pierden algunas decenas completas y todas las unidades sueltas, para dejar lugar a algunas decenas que pierden una sola unidad, dejando únicamente “barras” de nueve unidades.

d) La sucesión de Fibonacci

Todos los ejemplos anteriores tenían asociada una destreza aritmética concreta a practicar, pero existen otros ejemplos en los que se propone la práctica de diversas estrategias aritméticas conocidas por el alumnado.

Un ejemplo de este tipo de tareas podría ser el estudio de la sucesión de Fibonacci respecto a la cual tenemos infinidad de preguntas interesantes para realizar. Comenzamos por presentarle la sucesión al alumnado, definiéndola como una sucesión de números en la que los dos primeros son el número 1 y a partir de allí todos los que siguen son siempre la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... y dándole contextualización histórica, ya que esta sucesión aparece por primera vez en 1212 en el Liber Abaci, el libro a través del cual Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci) presentaba las cifras indoarábigas que son la base del sistema decimal que usamos en la actualidad.

Lo primero que podemos proponerles a los alumnos es que escriban todos los números de esta sucesión hasta el primero que supere el 10000, una tarea que se les presenta como titánica viendo lo lentamente que crecen los valores en un inicio, pero que demuestra estar al alcance de cualquiera que sepa sumar números más allá del 100.

A continuación podemos pedirles que subrayen los números pares que aparecen en la lista, que se sorprendan observando que entre los primeros elementos de la sucesión los pares se distribuyen de manera que solo hay uno de cada tres, y que esta distribución se extiende más allá de los primeros elementos de la sucesión que tienen a la vista porque siempre sumando dos números impares obtienen un número par, este con el anterior suman un número impar, que a su vez con el anterior suman un número impar y volviendo de esta manera a dejar dos números impares seguidos para comenzar un nuevo ciclo de paridad: i, i, p, i, i, p...

Otras preguntas que podemos formularle al alumnado son:

► Calcula el promedio entre el número que ocupa una posición y el que figura tres posiciones más adelante. Hazlo varias veces cambiando la posición del primer número. ¿Qué observas?

► El teorema de Zeckendorf afirma que cualquier número natural se puede escribir como la suma de términos diferentes de la sucesión de Fibonacci. Organízate con algunos compañeros para verificar esta afirmación con todos los números de dos cifras.

► Divide entre 3 cada número que aparece en la sucesión y anota ordenadamente los residuos que vas obteniendo. ¿Qué observas?

► Elige dos números de la sucesión y calcula el máximo común divisor entre ellos. ¿Qué observas?

► Elige un número de la sucesión de Fibonacci y  el que se encuentra a continuación, elévalos al cuadrado y súmalos. Vuelve a hacerlo con otros números de partida. ¿Qué observas?

► Completa la primera columna de la tabla que aparece en la Imagen 10 con diferentes números de la sucesión de Fibonacci que tengan dos cifras, indicando con ellos diferentes distancias medidas en quilómetros y completa la segunda columna con el valor correspondiente a la misma distancia medida en millas. ¿Qué observas?

Hemos presentado únicamente una pequeña se- lección de retos vinculados con la sucesión de Fibonacci (otros se pueden encontrar en Puntmat [2018]) y con ellos hemos practicado sumas, clasificación  de números en pares e impares, divisiones, promedios, potencias, cálculo del máximo común divisor, proporcionalidad, etcétera. La sucesión de Fibonacci puede dar entonces un muy buen contexto para elaborar un pequeño proyecto de práctica de diferentes destrezas aritméticas que les permitan a los alumnos vislumbrar algunas de las propiedades de esta maravillosa sucesión.

Las tareas de práctica productiva que hemos ejemplificado en las páginas previas son especialmente válidas por su flexibilidad para atender la diversidad. A partir de las preguntas que el maestro va realizando durante la gestión de la actividad la va adaptando a sus alumnos, diferentes por naturaleza en sus intereses y necesidades durante el aprendizaje.

Tal como expresa Gómez Chacón (2009), enseñar consiste en guiar procesos de aprendizaje. Esta guía requiere el primoroso cuidado de las interacciones, tanto entre el alumnado como de cada uno de ellos con su maestro, y la selección de tareas encomendadas para vehicular esa interacción mostrando a través de ellas los valores del quehacer matemático.

Estas tareas que pretenden dar una imagen adecuada de la actividad matemática no pueden restringirse al final de los procesos de aprendizaje, no pue- den considerarse la culminación, el objetivo último de nuestro trabajo en el aula, sino su propósito, un objetivo cotidiano. Las propuestas de práctica productiva contribuyen a concretar este propósito.

BARBA URIACH, David; CALVO PESCE, Cecilia (2011): “Sentido numérico, aritmética mental y algoritmos” en J. E. García Jiménez (coord.): Elementos y razonamientos en la competencia matemática, pp. 47-78. Madrid: Subdirección General de Documentación y Publicaciones del Ministerio de Educación Cultura y Deporte. En línea: https://www.murciae duca.es/cpstellamaris/sitio/upload/ARITMETICA_MENTAL_Y_ALGORIT- MOS_4778.pdf

BARBA URIACH, David; CALVO PESCE, Cecilia (2016): “Ell@s tienen la palabra. Tareas ricas para practicar las tablas” en Suma, Nº 82, pp. 69-76. En línea: https://revistasuma.es/IMG/pdf/s82-69-ellos_tienen_la_palabra.pdf

GÓMEZ CHACÓN, Inés Mª (2009): “El quehacer matemático, un quehacer emocional” en Crítica, Año LVIII, Nº 964, pp. 72-77. En línea: https:// eprints.ucm.es/21641/1/IGomez15.pdf

HALMOS, P. R. (1980): “The Heart of Mathematics” en The American Mathematical Monthly, Vol. 87, Nº 7, pp. 519-524.

PIGGOTT, Jennifer (2008): “Rich tasks and contexts” en Nrich. En línea: https://nrich.maths.org/5662

PUNTMAT (2018): “Tasques riques i Fibonacci” [Mensaje en un blog]. En línea: http://puntmat.blogspot.com/2018/04/tasques-riques-i-fibonacci.html

VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, Marja (ed.) (2008): Children Learn Mathematics. A learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in Primary School. Utrecht: Freudenthal Institute, Utrecht University.