En ocasiones, el trabajo en torno a la superficie de figuras planas se reduce a la resolución de actividades que requieren calcular el área de una figura, conocidas sus dimensiones. Por ejemplo:

Este tipo de actividades les exigen a los alumnos conocer las fórmulas de cálculo de áreas de las figuras y la realización de determinados cálculos. En algunos casos, la dificultad está dada por las dimensiones involucradas, por ejemplo, la actividad anterior podría modificarse sustituyendo el largo por 12,7 cm y el ancho por 5,23 cm.

El trabajo con este tipo de actividades únicamente, no aborda la conceptualización de qué es la magnitud cantidad de superficie, es decir, la constitución de la magnitud. «Si queremos enseñar el concepto de magnitud plantearemos actividades en las cuales el objetivo será la comprensión de aquello en lo que la magnitud consiste, independientemente de otras actividades en que se aborden la medida y la medición.» (Xavier de Mello, 2005:195)

En este artículo presentamos algunas actividades clasificadas en dos partes. En la primera parte se presentan actividades que tienen por objetivo la comprensión de qué es la magnitud superficie, es decir, que los alumnos la identifiquen diferenciándola de la magnitud longitud, por ejemplo; no tiene por objetivo medir (cuantificar) la cantidad de superficie. Las actividades de la segunda parte tienen por objetivo la cuantificación de la cantidad de superficie, es decir, el cálculo de áreas.

Las actividades de constitución de la magnitud implican ordenar, reconocer equivalencias, sumar, restar, multiplicar y dividir. Es decir, actividades con el fin de establecer que entre las figuras (del plano, en este caso) puede definirse:

• Una relación de equivalencia (o igualdad).

• Una relación de orden (la relación “mayor superficie”).

• La suma (y la resta).

• La multiplicación escalar (multiplicando por un número, duplicar, triplicar, etc.).

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En todos los casos, las etiquetas son rectángulos, y el objetivo es compararlas estableciendo una relación de orden o equivalencia según corresponda. Las afirmaciones “esta es más larga”, “esta más corta”, “pero el alto de esta es mayor” tratarán de zanjar la discusión, pero ¿cómo podemos estar seguros? La posibilidad de manipular las etiquetas, copiándolas, recortándolas, superponiéndolas, tiene que transformarse en herramienta para ser utilizada en otras situaciones. Los rectángulos están elegidos para que en algunos de los casos una de las dimensiones coincida, así “esta parte es igual pero esta es más corta” se transforme en “entonces esta es más chica” o “como este lado es la mitad, esta tiene la mitad de tamaño”. Para la gestión de la puesta en común es importante circunscribir estas conclusiones al hecho de que todos son rectángulos, “las etiquetas tienen la misma forma”. Las deducciones están sujetas a condiciones particulares, es una buena costumbre explicitar en qué contexto, con qué figuras en este caso, estamos trabajando, porque quizá en otro no sean ciertas.

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Hay muchos criterios para la elección que puede ser perfectamente arbitraria, pero en la discusión orientada a explicitar los criterios muy probablemente estará el del tamaño “la más chiquita es la de 1”, y así sucesivamente. En los casos de duda, otra vez pueden recortar y superponer un círculo sobre otro para comparar la cantidad de papel que ocupa cada uno. En este caso, no es tan claro medir longitudes como en la actividad de los rectángulos para extraer conclusiones (no están los centros y por ende los diámetros no juegan un rol evidente). Aquí directamente aplica: “como esta moneda entra en esta otra, vale menos”.

Estos criterios resultan ser utilitarios en el día a día. No necesariamente calculamos áreas para saber que una cantidad de superficie es mayor que otra. Si podemos incluir una en la otra, aunque sea mentalmente, sabemos cuál es menor. También cuando tienen igual forma como, por ejemplo, los rectángulos, y una dimensión coincide pero la otra no, ya tenemos nuestra conclusión. Los alumnos tienen que pasar intencionadamente por este tipo de situaciones.

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Los alumnos deben resolver cuál figura tiene mayor y cuál tiene menor superficie en términos de “cantidad de pintura”. A diferencia de las anteriores, en esta actividad se presentan figuras de distintas formas: rectángulos y un triángulo, mientras que en las dos primeras eran todos rectángulos o todos círculos, estrategias que resultan insuficientes para esta actividad, no alcanza con incluir una figura en otra o comparar una de las dimensiones para constatar si la otra es igual. Se puede dejar una tijera a mano para que los alumnos recorten y superpongan. Al final de la actividad podría preguntarse: “¿En qué hay que fijarse para saber cuál requiere más pintura?”. Y podría concluirse: en la más grande, en la que ocupa más lugar, no hay que fijarse en el largo, no hay que fijarse en el ancho, hay que ver cuáles son más gordas, etcétera.

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En esta actividad, los alumnos reinvierten lo discutido en la anterior. Para resolverla tienen que decidir cómo modificar la figura para obtener una “más grande” y una “más chica”. Podrían notar que si modifican solo un lado, varía la cantidad de pintura (el área). Por ejemplo: si dibujan una figura de igual base pero más alta, necesitan más pintura; si dibujan una con igual base pero más baja, necesitan menos pintura. Se podrá llegar a conclusiones similares dejando fija la altura y variando la base.

Para obtener figuras de igual área (que necesiten igual pintura), los alumnos podrían recortar el rectángulo y armar distintas figuras, todas con igual superficie. Sería recomendable que esta parte de la discusión se hiciera en la pizarra, pegando las distintas producciones de los alumnos. Es muy importante poner énfasis en esto: armaron varias figuras diferentes, pero con la misma cantidad de superficie.

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Esta actividad puede proponerse unos días después de la anterior, para retomar las figuras que tenían igual cantidad de superficie pero diferentes contornos. Al utilizar las conclusiones para ponerlas a prueba estamos intentando transformar esto en un hábito de pensamiento. Los diferentes tipos de trabajos y las conclusiones que vamos elaborando se transforman en conocimiento tanto al usarlos para extraer nuevas conclusiones como al ponerlas a prueba.

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En esta actividad, los alumnos tienen que identificar que Camila ordenó las figuras fijándose en la superficie, las ordenó “de menor a mayor”, de la más grande a la más chica. No las ordenó por altura, ni por forma. Para ordenar las figuras de menor a mayor, los alumnos podrían recortar nuevamente para superponerlas. La puesta en común permitirá explicitar preguntas como: ¿se fijó en los lados?, ¿en cuál es más ancha?, ¿en cuál es más alta? En esta actividad se les podría decir a los alumnos que Camila se fijó en algo que vamos a estudiar: en la superficie. ¿Qué tiene que ver la superficie con las actividades que hicimos antes sobre la cantidad de pintura o papel? Más superficie es lo mismo que decir más pintura, menos superficie equivale a decir menos pintura.

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De alguna forma, en esta oportunidad se está cuantificando la cantidad de superficie, pero no se mide una figura dada; se representan figuras a partir de cierta figura unidad. En este caso, los alumnos podrían establecer algunas conclusiones como las siguientes:

• Si duplico la base o la altura, el área es el doble (lo mismo si triplico, el área es triple, y así sucesivamente).

• Si duplico la base y la altura, el área se cuatriplica, se multiplica por 4.

El maestro estará atento a estas conclusiones que son válidas en el caso de los rectángulos, pero no con todas las figuras. Estas conclusiones se volverán a discutir con otras figuras, con el objetivo de relativizarlas o localizarlas.

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Esta actividad implica que los alumnos manejen la superficie como algo “sumable”. Cuando se “pegan” dos figuras sin superponerlas, se obtiene una figura cuya superficie es la suma de las anteriores. La discusión será en torno a cómo diseñar una figura cuya superficie sea la suma de ambas:

• Por ejemplo, se puede formar una figura pegando dos bordes, pero teniendo cuidado de que no se superpongan.

• Se pueden recortar las figuras anteriores y con los recortes formar una nueva figura, pero siempre teniendo en cuenta que no se pueden superponer las partes.

En esta parte se busca asignar números a la cantidad de superficie de algunas figuras, no necesariamente en cm2 (unidades convencionales).

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Los alumnos podrían apelar a la cantidad de cuadraditos que ocupa cada una de ellas, esto es una primera comparación con una unidad: “estas ocupan 4 cuadraditos, estas 6 y estas 8”. Esto permite decir que venimos hablando de superficie, y vemos que podemos poner un número para esta superficie, que podrían ser los litros de pintura. Así, las figuras de 4 ocupan la mitad del espacio de las de 8, y si tuviéramos que pintarlas, necesitaríamos la mitad de pintura. Las de 6 son una vez y media las de 4, y la misma proporción con la pintura.

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Los alumnos tienen que superponer el rectángulo varias veces en la otra figura para concluir cuántas veces entra. Esto es otra forma de cuantificar la superficie: diciendo cuántas veces entra cierta unidad en la figura. Establecer relaciones con la actividad anterior: en la actividad anterior, “las de 4” significa que el cuadradito entre 4 veces, pero no tuvieron que superponer porque ya las figuras estaban ubicadas sobre papel cuadriculado; en este caso deben ir superponiendo el rectángulo para ver cuántas veces cabe.

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Los alumnos tienen que contestar “cuánto más”, lo que implica que deben cuantificar la superficie de ambas figuras. Para ello y a partir de las actividades anteriores podrían:

• Trazar cuadrículas sobre la hoja para contar los cuadraditos de cada figura.

• Inventar una unidad (como en la anterior) y ver cuántas veces entra en cada figura.

En ambos casos, cuanto más chica sea la unidad, mayor será la exactitud de la medida.

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La segunda unidad es el doble de la primera, y la tercera unidad es el triple de la primera. ¿Cuáles son las medidas que van a obtener usando las tres unidades?

• Si usan unidades más chicas, la medida es más grande.

• Si usan la unidad doble, obtienen una medida que es la mitad, por ejemplo: la figura mide 10 unidades chicas, y mide 5 unidades medias.

• Si usan la unidad que es el triple, la medida da la tercera parte, por ejemplo: la figura mide 15 unidades chicas, y mide 5 unidades grandes.

   

Con esta actividad se puede reflexionar acerca de la proporcionalidad inversa entre la unidad de medida y el número medida.

Las actividades inician en la aproximación exploratoria a la cantidad de superficie, asociada a la cantidad de papel o de pintura necesaria para obtener tal o cual figura. Con diferentes consignas, los alumnos tienen que comparar al ordenar esas figuras, atendiendo la nueva cualidad que nombraremos oportunamente. Es un buen gesto profesional que aquello que queremos enseñar aparezca como resultado de nuestra investigación, como herramienta de solución, así que pacientemente guardamos “cantidad de superficie” al momento de sintetizar lo que tuvimos en común tanto con la cantidad de papel como con la de pintura. Descontextualizamos ese conocimiento, le ponemos nombre, sistematizamos lo que aprendimos sobre él para poder utilizarlo.

Podemos ordenar figuras de la misma forma, atendiendo a cuál tiene mayor cantidad de superficie. También podemos establecer si dos figuras distintas tienen la misma cantidad de superficie transformando una en otra (cortando y pegando, superponiendo partes o la figura entera, etc.). Si una figura “entra” en otra, tiene menos cantidad de superficie. Existen figuras con igual cantidad de superficie, pero diferente perímetro. Trabajamos con figuras en las que si duplicamos (triplicamos, cuadruplicamos, etc.) una de sus dimensiones obtenemos otra con el doble (triple, cuádruple, etc.) de superficie. Llegados a este momento parece natural asignar números a la cantidad de superficie de las figuras, utilizando una cantidad específica como unidad. Ahora algunas comparaciones pueden hacerse sin necesidad de superponer las figuras relacionadas, sino que entra en juego un referente, y comparamos u ordenamos números. Finalmente hay una actividad que pretende poner en evidencia la relación inversa entre la unidad de medida y el número medida, cuanto mayor la cantidad de superficie de la unidad, menor es la medida que se obtiene de la figura a medir.

Para continuar habrá que planificar actividades de medición efectiva, con unidades convencionales (o no), construir referentes para hacer estimaciones oportunas. Y también, porque son necesarias, actividades clásicas en las que se calculen áreas de figuras a partir de fórmulas. Pero quizá, previamente, haya un conjunto de conocimientos disponibles que permitan deducir esas fórmulas (doblando, superponiendo, cortando, etc.)