Los aportes de la Didáctica de la Matemática han posibilitado un abordaje diferente del trabajo matemático desde hace más de cuarenta años. La prioridad dada tradicionalmente a rígidas fórmulas ha sido desplazada por la búsqueda de potentes relaciones. Esto ha permitido “salir de la caja” para desarrollar valiosos razonamientos. En este artículo presentamos un ejemplo de este tipo de trabajo.

En el Marco Curricular de Referencia Nacional (ANEP, 2017) se explicitan perfiles de tramo de la Educación Primaria (tercer y sexto grado). Si bien estos perfiles tienen un carácter general, podemos asociar algunos de ellos con el trabajo matemático. Por ejemplo:

«Perfiles de tramo. Educación Primaria. 3.er año.

[...]

• Integra conocimientos básicos, incluyendo los tecnológicos.

• Busca y selecciona información e interactúa con otros, mediado por el docente.

[...]

• Indaga y elabora ideas y soluciones a los problemas en forma creativa, en situaciones cotidianas y utilizando diferentes lenguajes.» (ANEP, 2017:55)

«Perfiles de tramo. Educación Primaria. 6.º año.

• Identifica, analiza y organiza temas significativos en relación con sus intereses y con los intereses que despiertan los saberes escolares.

[...]

• Diseña, construye y resuelve problemas con los conocimientos integrados y las tecnologías disponibles.

[...]

• Elabora ideas tanto en forma individual como colectiva, en variadas áreas del conocimiento y en lenguajes diversos.

• Construye argumentos y analiza la pertinencia de resultados y relaciones que le permiten pensar y actuar creativamente.» (idem, p. 56)

Para alcanzar estos perfiles es necesario que los alumnos desarrollen una competencia matemática a lo largo del ciclo escolar. ¿Qué significado le atribuimos a esta competencia?

«...se entiende como competencia matemática a la capacidad de resolver planteos matemáticos enmarcados en distintas situaciones, poniendo en juego información, habilidades, emociones y actitudes, involucrando el saber sobre los contenidos y el saber actuar intencionalmente con ellos (qué hacer, cómo, cuándo y por qué hacerlo).» (INEEd, 2017:8-9)

Sostenemos que esta competencia exige el desarrollo del pensamiento matemático. El pensamiento matemático que implica las distintas formas de “hacer Matemática”.

«Pensamiento matemático se denomina a la forma de razonar que utilizan los matemáticos profesionales para resolver problemas provenientes de diversos contextos, ya sea que surjan en la vida diaria, en las ciencias o en las propias matemáticas. Este pensamiento, a menudo de naturaleza lógica, analítica y cuantitativa, también involucra el uso de estrategias no convencionales, por lo que la metáfora pensar “fuera de la caja”, que implica un razonamiento divergente, novedoso o creativo, puede ser una buena aproximación al pensamiento matemático.» (SEP, 2017:296)

En este sentido entendemos la necesidad de instalar prácticas que permitan el desarrollo de este pensamiento matemático y que vayan más allá del listado de contenidos programáticos.

Estas prácticas deben darle al alumno la posibilidad de hacerse cargo de la situación que se le plantee, explorar estrategias convencionales y no convencionales, discutir su pertinencia así como la de sus resultados, generalizar, conjeturar, anticipar, utilizar diferentes representaciones, comunicar, explicar, argumentar y defender posturas propias y ajenas.

Para que los alumnos puedan poner en juego estas formas propias de “hacer Matemática”, entre otras acciones deben enfrentarse a ejercicios y problemas aritméticos y geométricos, a resoluciones individuales, en dupla o en grupo, a distintos tipos de actividades (de producción, de documentación, de identificación).

A partir de este marco explicitado tomamos una de las competencias establecidas en los perfiles de tramo de 6.º año de Educación Primaria y analizamos de qué manera queda en evidencia su desarrollo en la terminación del ciclo escolar. «Construye argumentos y analiza la pertinencia de resultados y relaciones que le permiten pensar y actuar creativamente.» (ANEP, 2017:56)

Al efecto diseñamos una propuesta para sexto grado conformada por cinco situaciones que pueden ser trabajadas en varios días. La secuencia obliga a los alumnos a poner en juego distintas competencias que incluyen acciones pertenecientes al pensamiento matemático.

El trabajo con una hoja de papel centimetrado facilita tanto el trazado utilizando solo números naturales como el recortado. 

No dar ninguna medida abre la posibilidad de que cada dupla decida el tamaño que le dará a los cuadrados de los extremos. Esto permite el armado de cajas con diferentes medidas que tendrán distinto volumen.

Es una actividad que, si bien impone condiciones, deja un margen para la toma de decisiones de los alumnos. Es un espacio que da la posibilidad de que el alumno se haga preguntas, actividad muy importante del pensamiento matemático.

Todo esto nos lleva a analizar cuántas propuestas matemáticas de las que se proponen habitualmente en el aula dan la posibilidad de que el alumno tome decisiones de este tipo y se plantee interrogantes.

Esta actividad posibilita comparar las cajas construidas, identificar las diferencias... ¿En qué se podrían fijar los alumnos? ¿Tamaño de la base? ¿Alturas de las cajas? Es posible que la identificación de diferencias esté condicionada por las medidas que tengan ambas cajas confrontadas. No es lo mismo comparar la caja de la figura a con la de la b, que comparar las cajas de las figuras a y c (las respectivas imágenes corresponden a la situación 4).

La propuesta obliga a discutir qué medidas deberán tener los cuadrados de los extremos para lograr cajas diferentes a las dos ya construidas.

Otra vez aparece la posibilidad tanto de pensar y actuar creativamente como de tomar decisiones, en este caso grupales.

Nuevamente se plantea una pregunta que lleva al intercambio, a la discusión, y que da lugar a la generación de algunas conjeturas o a las que llamamos situaciones de “si... entonces”. Asimismo, sin pedirlo explícitamente, posibilita la construcción de argumentos ya que es necesario poder llegar a algunas conclusiones primarias. 

Consigna

¿Cómo varía el volumen de las cajas? ¿En qué caso se logra el mayor volumen? ¿Y el menor?

Es interesante que los alumnos puedan identificar todas las posibilidades que tienen; relevar las medidas de todas las cajas que fueron construidas en el grupo y, a partir de esa información, discutir si existen otras posibilidades. ¿Cuántas cajas es posible armar? Recordamos que en esta propuesta, las medidas deben estar dadas por números naturales.

A continuación presentamos algunas cajas posibles.

Al recortar cuadrados de 1 cm de lado en cada una de las esquinas se obtiene una caja cuya base es un cuadrado de 18 cm de lado y su altura es 1 cm.

Al recortar cuadrados de 8 cm de lado en cada una de las esquinas, se obtiene una caja cuya base es un cuadrado de 4 cm de lado y su altura es 8 cm.

 Otra caja podría tener una base cuadrada de 16 cm de lado y 2 cm de altura. En este caso, los cuadrados que se recortaron en cada esquina tienen 2 cm de lado.

Al recortar cuadrados de 5 cm de lado se logra armar una caja de base cuadrada de 10 cm de lado y 5 cm de altura.

 Los datos de las cajas aquí presentadas se podrían reunir en una tabla. Las medidas están expresadas en centímetros (cm) en las tres primeras columnas, y en centímetros cúbicos (cm³) en la última columna correspondiente al volumen.

A partir de estos datos es posible discutir cuántas cajas más se pueden armar, en las mismas condiciones, para luego anticipar. ¿En qué caso creen que se logra el mayor volumen? ¿Y el menor? Es importante que cada niño o cada dupla tome nota de lo que piensa de manera anticipada, para luego “defender” activamente su idea. 

Estas son las nueve cajas posibles de armar:

A continuación detallamos algunas ideas que hemos relevado entre los alumnos de sexto grado. 

• A medida que los cuadrados de las esquinas son más grandes, el volumen es más chico.
• Si el cuadrado de la base es más chico, el volumen va a ser más chico.
• Lo único que importa es la altura... si esta aumenta, el volumen aumenta.

Al analizar estas anticipaciones expresadas por los niños podemos ver que todas ellas son erróneas y que fueron elaboradas a pesar de que ya tenían algunos datos que impedían hacer estas afirmaciones. Entendemos que en estos casos puede incidir el peso que tienen algunas ideas intuitivas y algunos obstáculos ontogenéticos inherentes a la relación longitud-área-volumen. Todos estos aspectos han sido estudiados por diversos autores, entre otros Chamorro (2003); D̓Amore y Fandiño (2007); Del Olmo, Moreno y Gil (1993).

A partir de la discusión colectiva sobre sus volúmenes se puede generar el siguiente listado de cálculos que permitirá la confrontación con las anticipaciones realizadas.

Este listado puede generar nuevas discusiones en torno a la variación en las medidas lineales y en las cúbicas. ¿Por qué los dos primeros factores de cada multiplicación son números pares? ¿Por qué el tercer factor de la multiplicación puede ser par o impar? Las respuestas a este tipo de preguntas requerirán posiblemente validaciones empíricas, en las que se puedan identificar las distintas medidas correspondientes a las diferentes cajas.

La propuesta también abre la posibilidad de plantear nuevas conjeturas, explicaciones, interrogantes, argumentos.

Si hubiéramos partido de un cuadrado de papel centimetrado de 15 cm de lado... ¿cuántas cajas podríamos hacer bajo las mismas condiciones que en el problema analizado en esta oportunidad? ¿Y si utilizáramos un cuadrado de 30 cm de lado?

¿Qué pasaría con sus volúmenes en cada caso?

O, por ejemplo, en otra oportunidad y separándose de las medidas del cuadrado inicial de 20 por 20, se podría plantear: ¿qué medidas debería tener una caja de base cuadrada para obtener un volumen de 2000 cm³?

Todas estas preguntas permiten enriquecer el trabajo matemático de los estudiantes poniendo en acción haceres propios del matemático.

Este tipo de actividades le permiten al alumno no solo tomar conciencia de los conocimientos que posee, sino establecer relaciones entre ellos y con los saberes “oficiales”. Esta propuesta forma parte de las que nosotros llamamos actividades de documentación y que sostenemos que deben estar a cargo de los alumnos. «Son aquellas actividades que exigen al alumno hablar sobre lo que él ya sabe de un objeto matemático. Esto implica documentar los conocimientos que posee con respecto a una figura geométrica, a los números, etcétera.» (Rodríguez Rava, 2014:39). En este caso tienen que hablar de todos aquellos conocimientos que se pusieron en juego al activar las relaciones entre longitud, área y volumen.

La mayoría de las actividades que integran esta secuencia (de situación 1 a situación 4) son actividades de producción. «Son aquellas en las que el alumno debe: trabajar con el objeto matemático, construir relaciones, recorrer un camino (un hacer), generar una “respuesta nueva” que surja del planteo inicial, presentar argumentaciones, etcétera.»

A lo largo de la secuencia se buscó enfrentar a los niños a situaciones en las que pudieran activar distintas acciones propias de la competencia matemática, que definíamos al comienzo de este artículo a partir del documento de INEEd (2017).

En cada situación, los alumnos deben involucrar «el saber sobre los contenidos» pero fundamentalmente el saber «actuar intencionalmente con ellos».

La secuencia apunta a que los niños puedan pensar “más allá de la caja”, en este caso más allá de las trilladas fórmulas de cálculo de área y de volumen, y desarrollar un razonamiento divergente, autónomo y creativo, propio del pensamiento matemático, logrando alcanzar alguno de los perfiles de salida establecidos para la Educación Primaria.

Discutir la centralidad del estudiante en el aprendizaje resulta obsoleto. Se ha venido planteando, entre otros por Vigotski (2005), desde hace más de cien años.

Hoy la discusión se centra en cómo desarrollar la competencia matemática a lo largo del ciclo escolar, qué tipo de actividades la genera y de qué forma se puede poner en práctica.

Pensamos que desde los primeros grados escolares podemos enfrentar a los alumnos a situaciones que les permitan: ensayar posibles resultados, utilizar distintas representaciones, confrontar las diferentes formas de resolución, establecer conjeturas.

Todo esto podría formar parte de las discusiones de los colectivos docentes.