La enseñanza de la Matemática representa un gran desafío para los maestros, porque implica contar con un conocimiento disciplinar que debe constituirse en un “asunto” de la enseñanza. En este sentido es necesario que los alumnos se aproximen a los objetos matemáticos, realicen conjeturas respecto a ellos y establezcan relaciones que impliquen “ir y volver”, cuantas veces sea necesario, para encontrar “lo nuevo” que permita develar lo que hasta ahora estaba escondido.

Mediante actividades realizadas en el aula y el análisis de las producciones de los alumnos, estudiamos las generalizaciones alcanzadas en un contexto algebraico.

«Las generalizaciones se producen como conjeturas que deberán ser analizadas por la comunidad matemática de la clase.» (Corujo, Easton y Méndez, 2019:23)

En este sentido es posible afirmar que habilitar instancias para la generalización posibilita entrar en un modo de pensar y hacer matemática que le La generalización como objeto de enseñanza Una mirada desde y para el aula brinda al docente la oportunidad de reconocer reglas generales que los alumnos van produciendo, para posteriormente intervenir en la enseñanza de un contenido.

La gestión del conocimiento en el aula de Matemática, apuntando a generalizar, busca desarrollar una “racionalidad matemática”que promueva un lenguaje específico en tanto que se formulan reglas que limitan o condicionan el avance en los conocimientos. Este avance se ve determinado por los cuantificadores “siempre, algunos, solo, todos, a veces, ninguno, nunca”, los cuales habilitarán la validación y la explicitación de argumentos.

La propuesta que seleccionamos del Cuaderno para hacer Matemática en Quinto (ANEP. CEIP. CACEEM, 2017) pretende que los alumnos generalicen una regla sobre los perímetros de los polígonos regulares. «Los alumnos hacen generalizaciones a partir de inferencias producidas por razonamientos deductivos o no deductivos (Panizza, 2005).» (Corujo, Easton y Méndez, 2019:26)

En este sentido consideramos la pertinencia de pensar en la generalización como proceso que implica desarrollar ciertas habilidades que le dan significado: “ver” las regularidades, exponerlas verbalmente y producirlas de forma escrita. Entonces, la generalización como producto se logra teniendo en cuenta las formulaciones finales, leyes, propiedades o reglas, que se construyen mediante diferentes razonamientos.

Las tareas a las que convocamos a los alumnos en la propuesta seleccionada tendrán ciertas características: la invitación a la producción será el centro al igual que las maneras de registrar, los modos de hacer y las formas de poner en común, así como provocar a que se sienta la necesidad de validar aquellas generalizaciones que se hayan producido.

En esta actividad, los haceres matemáticos puestos en juego son: leer, escribir, explorar, validar. Los niños deberán explorar a partir de un caso particular, por ejemplo, “razonamiento de Joaquín”, para posteriormente avanzar hacia una generalización.

La propuesta presenta tres partes que, en forma progresiva, habilitan la generalización de la regla matemática: perímetro de cualquier polígono regular = lado x N, siendo N el número de lados.

En la página, en lenguaje figural, encuentran las representaciones (tradicionales en la ubicación en el plano) de dos polígonos equiláteros: triángulo y cuadrado.

En el punto uno, en registro algebraico, aparece la fórmula para el perímetro del triángulo como caso particular, para luego introducir la problematización de si también sería válida para el caso del cuadrado allí representado.

En el punto dos se presenta una propuesta de acción en la que se propone la reutilización de la fórmula presentada anteriormente, abriendo un camino progresivo hacia la generalización ya que se repite la fórmula (procedimiento) para otro caso particular. Es preciso destacar que esta fórmula se reitera implícitamente, pero no se presenta de forma explícita.

En el punto tres aparece una tabla en lenguaje natural, en la que se mencionan otros polígonos regulares en orden según la cantidad de lados, figuras que se venían abordando en actividades anteriores y que en esta oportunidad no aparecen en la representación figural, sino representadas por su nombre.

A su vez, en esta parte de la consigna se profundiza en el proceso de generalización cuando queda abierta la propuesta de que se escriba el nombre de la figura, ya que posibilita otras exploraciones por parte del alumnado.

Por último, se introduce la letra N como variable generalizada, en el entendido de que puedan construir una regla como producto de un proceso que se fue desarrollando a partir de las anteriores actividades.

Se incluye, además, un tipo de nota al pie para aquellos niños que no recuerden qué es el perímetro.

En este sentido, en las actividades que se van proponiendo podemos ver un proceso de construcción que permitirá desarrollar ciertas habilidades que le den sentido, y que posteriormente habilitará como producto la formulación de la regla que posibilitará resolver cualquier problema de perímetro de polígonos regulares.

Lucía

1) En este caso considera correcto el procedimiento, tomando la multiplicación en el sentido de suma abreviada y, a su vez, se evidencia que atiende implícitamente la congruencia de los lados al optar por la multiplicación (los factores son iguales).

2) Respecto a la argumentación valida, desde su individualidad, sus procedimientos posibles, sin considerar las argumentaciones matemáticas de manera fundamentada.

3) En el caso de la tabla va logrando trasladar el procedimiento inicial a diferentes casos de poliedros regulares. Apoyada por la propuesta, sigue la lógica de la misma que va ampliando el número de lados, pero al llegar a la generalización y a la identificación de la N como variable generalizada, le asigna un valor a la N. De esta manera deja en evidencia que reconoce que, a pesar de que el número de lados es variable, puede mantener el procedimiento.

Juan

1) Al igual que en el punto 2) reconoce la equilateralidad de las figuras por la igualdad en la medida de los lados. Es decir, al identificar la condición de equilátero del triángulo valida el procedimiento de Joaquín, logrando una argumentación que luego es utilizada en el cuadro. El término “también” da cuenta de ese proceso.

2) Logra explicar procedimientos a través de fórmulas algebraicas al haber adquirido o logrado las estructuras necesarias para utilizar ese lenguaje de forma adecuada, expresando claridad en las explicaciones. En el caso del pentágono se observa que invierte el orden de los factores, demostrando cierta claridad con la que maneja la producción de la escritura. Al igual que respecto a la cantidad de lados del hexágono, él explícita L x 4, error que a nuestro entender refuerza el procedimiento construido y automatiza el accionar de la fórmula. Este niño no solo logra atribuir o identificar la validez de la fórmula para las figuras dadas, y para otras que él considera ampliando el número de lados de los polígonos regulares, sino que rápidamente identifica la variable como número generalizado en la N, asegurando que N puede ser cualquier número de lados.

Noemí

1) Aquí Noemí evidencia un conocimiento de las propiedades del triángulo que hace referencia a la congruencia de lados cuando explica estar de acuerdo con hacer L x 3, pero además sabe que si no fuera equilátero no podría calcularlo de esa manera.

Otro aspecto interesante de su producción es la expresión “aunque no parezca”, de este modo relativiza su percepción.

2) Reconoce que el cuadrado también es equilátero, aunque sin mencionarlo, pero necesita además aclarar que debe multiplicarse por cuatro.

3) La progresión en su saber se evidencia en el cuadro, alcanzando a una construcción algebraica en la que puede establecer la generalización de P = lado x N.

Analizar cada una de estas producciones pensando en cómo se construye la generalización de un conocimiento a partir de los procesos que se van desarrollando con lo que se propone en las tres actividades, nos permitió discutir y reflexionar sobre la relevancia de generar instancias de trabajo en el aula en torno a la generalización de determinados conocimientos.

Para ello es necesario que los docentes estemos dispuestos a reconocer el alcance que tienen las propuestas que planteamos en el aula, para llevar a los alumnos hacia la generalización.

Discutimos respecto a que nos enfrentamos a los problemas matemáticos poniendo el énfasis en el campo del conocimiento que se pretende enseñar, sin reconocer que los problemas van generando los caminos o la caja de herramientas, que formarán el “todo” para la construcción del edificio matemático.

Sostenemos que en una primera instancia analizamos los problemas como si fueran propuestas para trabajar en el campo de las magnitudes y la medida, en tanto que se propone reconocer que para calcular el perímetro de los polígonos regulares se necesita saber la medida del lado y luego multiplicar por la cantidad de lados que contiene el polígono.

Al leer los materiales teóricos y discutir sobre la construcción de la generalización, comprendimos que es importante generar espacios en los que se promueva el establecimiento de relaciones, ensayos de conjeturas para que los niños se “acerquen” al conocimiento matemático con la mayor cantidad de herramientas. El posible recorrido será: explorar, conjeturar, validar y formular generalizaciones. Cada regla que se construya en el aula dará lugar al comienzo de un “nuevo proceso” para profundizar o generar nuevas propiedades, sin dejar de lado la lectura y la escritura como haceres transversales al proceso de generalización para poder “ver”, “decir” y “registrar”.

«Siguiendo con esta idea, existe primero lo general (similitud entre casos) y luego lo generalizado (comunicación más allá de los casos); estos serían elementos primordiales a la hora de hablar de fases de generalización.» (Piedra Moreno, 2013:493)

Por último, en esta propuesta se pretende pasar de la generalidad a la generalización, proceso que está ligado con el pensamiento algebraico, en el cual el simbolismo en el contexto geométrico tiene un papel importante: el símbolo (en nuestro caso la letra N) que representa lo desconocido, se presenta como variable, introduciendo a un lenguaje discursivo propio del álgebra.