Ana Bos Pérez
Maestra directora y Magíster en Gestión educativa.
María José Castro Carli
Maestra. Integrante del equipo de Investigación en la Enseñanza de la Matemática, revista Quehacer Educativo.
Cuando hablamos de Geometría hacemos referencia a una rama del conocimiento matemático. El significado etimológico de la palabra es “medida de la tierra” debido a su relación con las actividades prácticas de reconstrucción de parcelas que realizaban los egipcios, vinculadas a los problemas de inundaciones del Nilo. Transcurrido el tiempo, la Geometría dejó de lado la medida de la tierra, para introducirse con los griegos al mundo de las formas, sus componentes y las relaciones entre ellos (cf. Godino y Ruiz, 2002:456).
Para describir las formas, clasificar e identificar propiedades de los cuerpos perceptibles, su posición en el espacio, el tamaño y para designar una clase de objetos con palabras como punto, recta, plano, polígono, triángulo, etc., se hace imprescindible el lenguaje geométrico.
Según estos autores, no se puede perder de vista que la naturaleza de los objetos perceptibles es muy distinta a las entidades matemáticas y geométricas; estas son creadas mediante definición y reglas no arbitrarias, tienen carácter necesario, atemporal y universal. Las formas y figuras geométricas no hacen referencia a objetos perceptibles, son entidades abstractas. Muchas veces utilizamos un mismo término para mencionar un objeto perceptible con determinada forma geométrica como, por ejemplo, “dibuja una recta o un triángulo”. Debemos tener claro que a la hora de hacer sus representaciones o dibujos estamos evocando o simbolizan- do al objeto abstracto. Las figuras geométricas no tienen ninguna consistencia material, es una forma asignada por su definición.
A la hora de pensar qué enseñamos cuando enseñamos Geometría, debemos realizar un análisis de las prácticas docentes. Entender que las actividades de Geometría deben ir más allá de las definiciones y descripciones de figuras, implica orientar las acciones pedagógicas para que los estudiantes logren desarrollar habilidades de análisis de las características y propiedades de las figuras geométricas. En este sentido es necesario promover la elaboración de argumentos, modelizaciones, potenciar el razonamiento espacial y establecer relaciones intra e interfigurales. Saber Geometría «implica inferir a partir de datos y con el apoyo de las propiedades, relaciones que no están explicitadas y que llevarán a establecer el carácter necesario de los resultados de manera independiente de la experimentación» (Itzcovich, 2005:12).
Entendemos que en la escuela se desarrollan tradicionalmente propuestas desde un enfoque empírico, perceptivo, basado en la observación, el trazado, la presentación de definiciones y desde los contextos cotidianos. Nuestra mirada se basa en una enseñanza de la Geometría dinámica, deductiva, que permita explorar, conjeturar y validar, que implique la resolución de auténticos problemas geométricos. «La actividad matemática no es mirar y descubrir: es crear, producir y argumentar.» (Itzcovich, 2007:172)
Para establecer esta transición de lo meramente descriptivo hacia lo argumentativo, resulta indispensable ofrecer actividades didácticas potentes, es decir, situaciones que generen verdaderos conflictos cognitivos y posibiliten la construcción del conocimiento geométrico. En este sentido, es necesario un enfoque didáctico que enfatice la problematización de los objetos matemáticos. Aquí nos preguntamos entonces, ¿qué se entiende por problemas geométricos?
Según Itzcovich (2005:13), una situación constituye un problema geométrico cuando:
«-Para resolver el problema se ponen en juego las propiedades de los objetos geométricos.
-El problema pone en interacción al alumno con objetos que ya no pertenecen el espacio físico sino a un espacio conceptualizado; las figuras- dibujos trazadas por este sujeto no hacen más que representarlo.
-La función que cumplen los dibujos en la reso- lución del problema no es la de permitir arribar a la respuesta por simple constatación sensorial.»
Acerca de la validación, otra de las condiciones incluidas en el concepto de problema geométrico, el autor señala que «...no se establece empíricamente, sino que se apoya en las propiedades de los objetos geométricos. Las argumentaciones a partir de las propiedades conocidas de los cuerpos y figuras producen nuevo conocimiento sobre los mismos» (ibid.).
Este enfoque de la enseñanza de la Geometría desde la problematización conlleva tomar ciertas decisiones acerca de qué actividades desarrollar y cómo definir criterios para su secuenciación. En este sentido adherimos al planteo de Vecino Rubio (2003:305), referido a las bases fundamentales que sustentan el desarrollo de una didáctica específica del campo de la Geometría, que establece:
- Su carácter dinámico que posibilita «...la aproximación a los diversos conceptos geométricos a partir de la iconización que proporcionan los diversos materiales...».
- Una Geometría intrafigural e interfigural. Intrafigural es aquella Geometría que explicita las relaciones en el interior de una figura determinada; la interfigural es la que aborda las relaciones recíprocas entre distintas figuras. El hecho de abordar ambas geometrías posibilita aproximarse a la construcción de conceptos elementales de este campo del conocimiento.
- Su carácter deductivo e inductivo. La Geometría se ha caracterizado siempre por su carácter de- ductivo, pero el autor explicita la necesidad de incorporar la conveniencia de emplear el método inductivo en la construcción de la Geometría. Expresa que «...se trata de la aplicación de esa forma de razonamiento general a la investigación sobre conceptos geométricos mediante el uso de diversos materiales específicos» (ídem, pp. 311-312).
- «Una Geometría fundada en procesos de percepción, de representación, de construcción, de reproducción y de designación de los en- tes geométricos considerados en cada caso.» (ídem, p. 305)
En el programa escolar vigente se propone «una Geometría exploratoria, dinámica y problematizadora. En esta forma de trabajo geométrico, los enunciados, las relaciones y las propiedades son generales. Se establecen en un dominio de validez, es decir de explicitación de condiciones bajo las cuales funcionan» (ANEP. CEP, 2009:67). Con respecto a los contenidos de Geometría en el trayecto de inicial a sexto, observamos que se centran en el estudio de figuras en el plano y en el espacio, sus propiedades, clasificaciones y relaciones inter e intrafigurales.
En nuestra propuesta, los contenidos seleccionados para la elaboración de las secuencias son las figuras espaciales y las planas; en este último caso hacemos especial énfasis en las propiedades de los triángulos y su condición de existencia.
Partir de las figuras espaciales puede contribuir a la construcción del concepto de polígono, ya que las figuras planas constituyen las caras de las figuras espaciales. Desde una didáctica interfigural, establecer relaciones y comparaciones posibilita la cimentación de los constructos abstractos de la Geometría.
Para la elaboración de las secuencias consideramos importante lo expuesto por del Carmen (1993), entendiendo pertinente que realizar un análisis de los contenidos a enseñar implica estructurarlos to- mando en cuenta su organización lógica y psicológica. Lógica, dado que hace referencia a la dimensión conceptual inserta en un medio cultural; psicológica, porque hace alusión a los procesos cognitivos de aprendizaje del individuo, situación que depende de sus representaciones anteriores.
La enseñanza de los contenidos disciplinares debe realizarse de forma progresiva, respetando las características de los alumnos, atendiendo a los aportes que brindan otras disciplinas como la Sociología, la Didáctica, la Pedagogía y la Psicología. Para realizar la organización de los contenidos se toman en cuenta aportes de la teoría del aprendizaje significativo de David P. Ausubel (Ausubel y Sullivan, 1983). Según estos autores, las representaciones mentales de los individuos están organizadas conceptualmente y desempeñan una función mediadora entre los sujetos con su medio y la forma de relacionar los nuevos conocimientos con los que ya poseen. Para promover un aprendizaje significativo de los conceptos geométricos mencionados anteriormente, se elaboran secuencias teniendo en cuenta las siguientes dimensiones:
- Estimular un enfoque dinámico, reflexivo, analítico y crítico.
- Desarrollar el lenguaje matemático.
- Contemplar las lógicas de los contenidos disciplinares, supuestos epistemológicos, problemas de categorización, investigación y mediación.
- Realizar una evaluación de procesos, formativa, en el transcurso de toda la secuencia.
Conforme a lo mencionado con anterioridad res- pecto a la importancia de abordar las figuras espaciales previo al estudio de las figuras planas, concretamente el triángulo, proponemos dos secuencias didácticas para tercer grado escolar que se encuentran estrechamente vinculadas y que se retroalimentan mutuamente.
En el transcurso de esta secuencia se realizan actividades con distinta finalidad. La primera de ellas está enfocada en la exploración, al clasificar a partir de criterios propios con relación a la forma de los cuerpos, promoviendo así la visualización de las semejanzas y las diferencias existentes entre ellos.
Dado el carácter abstracto de los conceptos geométricos resulta necesario el trabajo con distintas representaciones de las figuras, y en ese sentido es interesante la distinción que plantea Vecino Rubio (2003:321) al diferenciar aquellas denominadas implícitas que hacen a los procesos mentales, de las elaboradas a partir del dibujo, llamadas explícitas. En las actividades de representación, el objetivo es favorecer la elaboración de representaciones explícitas, de manera de avanzar a la construcción de representaciones implícitas.
Otro aspecto tomado en cuenta en la secuencia es la utilización de distintos recursos para la representación de las figuras espaciales. En algunas actividades se emplean representaciones sólidas (cajas, cuerpos geométricos) con la finalidad de explorar las caras de las figuras (forma y cantidad), en otras se hace uso de la construcción de esqueletos o dibujos. En el caso de la propuesta que consiste en dejar “huellas” de las caras de los poliedros en la arena y/o en el papel, la intención es trabajar con la relación existente entre las figuras espaciales y las planas, contemplando las características interfigurales. Desde el punto de vista didáctico es relevante atender la vinculación entre la forma de las caras del poliedro y el número de lados del polígono represen- tado, así como visualizar la correspondencia entre las aristas del poliedro y el número de lados del polígono. Los esqueletos (palillos y masa) se utilizan con la finalidad de hacer hincapié en los atributos de aristas y vértices de los poliedros, es decir, las características intrafigurales. En esta oportunidad, el desafío consiste en identificar la cantidad de bolitas y varillas que se deben utilizar, y la longitud de estas últimas, tomando en consideración la figura a representar (prisma o pirámide), aludiendo a sus semejanzas y diferencias. En estas actividades, el docente debe mediar para lograr identificar aquellos atributos relevantes ya que, naturalmente, los niños incluyen también los atributos irrelevantes, es decir, aquellos que son producto de procesos visuales que muchas veces obstaculizan la identificación de las características indispensables que deben cumplir las figuras. Para avanzar y profundizar en la identificación de los atributos relevantes, los juegos de adivinanzas resultan un recurso potente al poner en juego las conceptualizaciones, características, inferencias y representaciones de la figura en cuestión, además de contribuir con el desarrollo del lenguaje geométrico.
Insistimos en el valor de las intervenciones docentes que promueven por un lado, el establecimiento de relaciones entre distintos objetos geométricos y por otro, nuevas exploraciones que enriquezcan la construcción conceptual.
Si tomamos por ejemplo la última actividad de la secuencia planteada anteriormente: “Representación de una pirámide regular de caras triangulares” en la que los alumnos dispondrán de palitos de igual longitud y masa de modelar, podemos encontrar distintos procedimientos de resolución y nos planteamos posibles intervenciones docentes a partir de los mismos.
En la última intervención presentada en la tabla, surge el problema de cómo se clasifica esta figura teniendo en cuenta que es un poliedro, ¿dentro de qué categoría la incluimos?, ¿es un prisma?, ¿es una pirámide?, ¿cuáles son sus características? A partir del análisis de dichas figuras, la proyección de la intervención docente es arribar a la clasificación de poliedros regulares e irregulares.
Consideramos que en este proceso de producción de conocimientos matemáticos se establecen los dos tipos de interacciones básicas explicitadas por Brousseau.
«a) la interacción del alumno con una problemática que ofrece resistencias y retroacciones que operan sobre los conocimientos matemáticos puestos en juego; y b) la interacción del docente con el alumno a propósito de la interacción del alumno con la problemática matemática. A partir de ellos postula la necesidad de un “medio” pensado y sostenido con una intencionalidad didáctica.» (Sadovsky, 2005b:19)
En esta oportunidad seleccionamos el contenido del programa escolar de tercer grado: “Las propiedades de los triángulos”, para desarrollar una secuencia didáctica considerando los aspectos menciona- dos en la fundamentación del artículo.
Como insumo para la planificación de esta se- cuencia se toma la actividad de representación de los esqueletos de los poliedros regulares, con el fin de estudiar las características de los polígonos que conforman sus caras (el triángulo).
La primera actividad de la secuencia es de clasificación; este tipo de actividades contribuye a la visualización avanzando en la elaboración de clasificaciones inclusivas y jerárquicas, dado que una figura puede incluirse en una o más categorías teniendo en cuenta que los atributos no se modifican. Consideramos valiosa la realización de esta actividad, ya que implica la determinación de un criterio de clasificación, por lo que los alumnos deben identificar los aspectos en común y las diferencias existentes entre las figuras (comparar). La intervención docente puede contribuir con la construcción del concepto de polígonos y no polígonos a partir de la generalización de las características comunes de las figuras representadas.
Las actividades de construcción de figuras geométricas le ofrecen al alumnado la posibilidad de experimentar con los materiales adecuados para promover el desarrollo de un aprendizaje significativo (Vecino Rubio, 2003:329). Una construcción simple con tiras de papel y remaches les posibilita establecer las condiciones para construir un triángulo a partir de tres segmentos dados, pudiendo generalizar a partir de las regularidades, por ejemplo, la condición de existencia de un triángulo. Esto exige la intervención del docente en el análisis de múltiples construcciones, posibles y no posibles, evidenciando así la relación que debe existir entre la longitud de sus lados para la obtención del triángulo. La intervención docente es fundamental en la formulación de interrogantes, para promover la argumentación y justificación de las propiedades de los conceptos estudiados. Consideramos que el planteo de preguntas como las siguientes contribuye al avance conceptual: ¿qué elementos en la construcción representan los lados del triángulo?, ¿y los vértices?, ¿está representado el espacio interior de la figura? Una posible variable didáctica a introducir es la cantidad y longitud de los palillos, ya que si habilitamos algunos palillos de igual longitud podremos aproximarnos a la clasificación de triángulos según sus lados.
Desde el punto de vista didáctico parece también sumamente interesante introducir actividades de reproducción a partir de una figura o cuerpo dado, como en la actividad a desarrollar reproducciones de triángulos con los palillos de madera. De acuerdo al planteo realizado por Vecino Rubio (2003:320), la reproducción de figuras contribuye a la construcción de importantes conceptos para la Geometría, como la conservación de la medida o la semejanza.
Atendiendo al espacio como una variable didáctica, se introduce la actividad a realizar en el patio de la escuela, con cuerdas de igual y diferente longitud. La dimensión del espacio en el que se modeliza debe posibilitar que el alumno acceda a situaciones en las que se pueda manejar, confrontar, ejercer su acción y designar los diversos elementos espaciales a los que se enfrenta. «Esto no es posible si no se tiene en cuenta la talla del espacio sobre el que se plantean las diversas situaciones...» (ídem, p. 324) Los tres tamaños del espacio que deben ser considerados para situar las actividades son: el microespacio, aquel sobre el que se puede actuar con sus propias articulaciones; el mesoespacio, es decir, el de proximidad física y afectiva; el macroespacio, el cual sobrepasa los límites de acceso al mismo y exi- ge el empleo de representaciones.
Es importante generar en los alumnos habilidades para la construcción de la figura de análisis como estrategia metodológica de visualización y organización de las características de la figura en cuestión. En la actividad que se plantea para establecer la propiedad de condición de existencia de los triángulos, la figura de análisis posibilita que los alumnos recurran a representaciones para ver las posibilidades de construcción o no.
Consideramos de suma importancia el uso de las TIC como herramienta y recurso didáctico para la representación y reproducción de figuras, ya que estas pueden obtenerse mediante una isometría que transforma una figura en otra, es decir, una figura será reproducción de otra siempre y cuando «resulta de la aplicación de traslaciones, giros o simetrías a la original» (ídem, p. 321). El abordaje de la reproducción a partir de la isometría podría contribuir al carácter dinámico de la Geometría.
En las actividades de recursividad de la secuencia se realizan propuestas con la finalidad de establecer vínculos entre las figuras triangulares y las figuras espaciales estudiadas en la primera secuencia, en contextos intra e interfigurales. Profundizan- do en lo anterior, en la actividad en la que se plantea la situación problema se deben tomar en cuenta las características y las propiedades del triángulo para identificar el tipo de figura espacial que se puede re- presentar. Esto permite potenciar la comparación del prisma de base triangular con la pirámide de igual base. La presentación de la actividad lúdica (juegos de cartas) es una herramienta que tiene la ventaja de ser motivadora y exige la participación activa de los alumnos. Es una situación no rutinaria y desafiante, que apela a la creatividad, al cumplimiento de reglas, donde el intercambio es inmediato y con los pares. Este tipo de actividades genera autocrítica, autoconfianza y autonomía, dado que todos los participantes tienen la posibilidad de validar el trabajo de los demás y el suyo propio. La intervención docente se hace necesaria para generar instancias de reflexión y argumentación sobre las estrategias utilizadas durante el juego, dando así lugar a la construcción de nuevos conocimientos matemáticos.
Al analizar el proceso realizado durante el desarrollo de la secuencia puntualizamos algunos aspectos que consideramos relevantes para promover la construcción de aprendizajes en el campo de la Geometría. En el transcurso de las actividades intentamos generar un avance conceptual involucrando la modelización, la construcción y la representación de figuras geométricas. A su vez, tomamos en cuenta el aporte realizado por Vecino Rubio e Itzcovich acerca de la importancia de partir de una Geometría dinámica, problematizadora, donde la exploración sea el vehículo para potenciar la visualización, la elaboración de conjeturas, la argumentación, la explicación y validación de los conceptos abordados.
Es importante mencionar que el trabajo realiza- do en este artículo intenta ser un aporte a la labor docente, al ilustrar uno de los caminos posibles para la construcción del concepto de triángulo en tercer grado.
Resulta relevante tomar como referencia el Documento Base de Análisis Curricular (ANEP. CEIP, 2016) donde se plantea la necesidad de acercar el conocimiento matemático desde múltiples perspectivas y prácticas de enseñanza, de manera de lograr la construcción del sentido de los conceptos matemáticos por parte del alumno. En especial en el campo de la Geometría, al explicitar los perfiles de egreso de tercer año escolar, se hace hincapié en el desarrollo de una Geometría inter e intrafigural, en la comparación y descripción de figuras en función de sus propiedades y características, y en la utilización de múltiples estrategias de representación.
Para finalizar, nos parece importante destacar el aporte realizado por Sadovsky (2005a:11) acerca de lo que implica adherir a una postura didáctica problematizadora, con el objetivo de reflexionar sobre nuestra práctica docente en el abordaje de la Geometría.
«Problematizar la actividad matemática de la clase supone analizar cuáles son los procesos que dan lugar a la producción de conocimientos, qué características tienen sus problemas, qué papel juegan los contextos particulares, cómo se validan sus soluciones, cómo se conforman y evolucionan sus normas, cómo emergen y se desarrollan diferentes modos de representar los objetos, cómo se constituyen las teorías, cómo intervienen las interacciones sociales, qué papel juega el docente como actor diferenciado.»
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